Futbola 1996'da İzmir'in amatör takımlarından Yeşilova'da başlayan Onur, 2004 yılında Karşıyaka'da profesyonelliğe geçti. 2008 yılının Ocak ayında ise Ersun Yanal yönetimindeki Trabzonspor'a transfer oldu. Bordo mavili takımdaki ilk iki sezonunda pek forma şansı bulamazken, takımın başına Şenol Güneş'in gelmesiyle ilk onbirde oynamaya başladı. Trabzonspor'la bir Türkiye Kupası bir de Türkiye Süper Kupası olmak üzere iki kez kupa sevinci yaşayan Onur, Mart 2011'de dizinden sakatlanarak, 6 ay sahalardan uzak kaldı.
Türkiye U-17 takımıyla 2005 yılında İtalya'da düzenlenen Avrupa 17 Yaş Altı Futbol Şampiyonası'nda şampiyonluk, aynı yıl Peru'da düzenlenen 17 Yaş Altı Dünya Kupası'nda ise dördüncülük başarısı yaşayan genç kaleci, 26 Mayıs 2010'da ilk kez A Milli Takım forması giydi.
1988 yılında Manisa'nın Alaşehir ilçesinde doğan Onur, 1 yaşındayken ailesi İzmir'e yerleşti. 8 yaşındayken oturduğu semtin takımı olan Yeşilova'nın seçmelerine katıldı ve başarılı olunca kulübe dahil oldu. İki yıl sonra da kendisine lisans çıkartıldı. Altı yıl boyunca A ve B Genç takımlarının yanı sıra Süper Amatör Lig'de mücadele eden takımda da yer aldı. Bu dönemde büyük kulüpler tarafından izlenilmeye başlanan Onur, bir hafta Bursaspor ve bir hafta da Galatasaray'da çalışmalara çıktı. 2004-05 sezonu başında profesyonel yapılma şartıyla 22 bin 500 TL karşılığında Karşıyaka'ya verildi.
İlk sezonunda takımda tecrübeli kalecilerin yer alması nedeniyle forma şansı bulamayan Onur, 21 Mayıs 2005'te Vestel Manisaspor'la oynanılan ve 2-1 kazanılan ligin son hafta maçında ilk kez resmî bir maça çıktı. 2005-06 sezonunda ise Recep Biler ve Murat Akarsu'dan sonra üçüncü kaleci olan Onur, sezon boyunca hiçbir maçta forma giyemedi. Ertesi yıl ise Recep Biler'in yedeği oldu ve sadece ligin son haftalarında iki maça çıkabildi. Onur takımda forma şansı bulamaması nedeniyle Ersun Yanal'ın çalıştırdığı Manisaspor'la bir protokol imzaladı. Ancak daha sonra Karşıyaka ile sözleşmesini 2 yıl uzattı.
2007-08 sezonu başında kaleci Recep'in takımdan ayrılmasıyla teknik direktör Engin İpekoğlu tarafından birinci kaleci yapıldı. O sezon oynadığı maçlarda çok iyi performans gösterdi ve Fenerbahçe, Galatasaray gibi büyük kulüplerin transfer listesine girdi. Rıdvan Dilmen'in tavsiyesi üzerine Fenerbahçe tarafından takibe alınan genç futbolcu için sarı-lacivertliler 900 bin TL önerdi. Ancak bu teklifi Karşıkaya kulübünün reddetmesi üzerine arayan giren Trabzonspor'a 510 bin euro karşılığında satıldı.
Onur Kıvrak, 15 Ocak 2008'de Trabzonspor'la 3,5 yıllık sözleşme imzaladı. Genç kaleci yeni takımındaki ilk maçına 24 Ocak'ta Gençlerbirliği ile oynanılan kupa maçında çıktı. Ligin son haftalarına kadar forma şansı bulamazken, 1-1 sona eren 26 Nisan 2008'deki Gaziantepspor maçında ilk kez bir Süper Lig maçında forma giydi. Son iki haftada da Trabzonspor'un kalesini koruyarak o sezon ligde 3 maça çıkıp, kalesinde 2 gol gördü. Ertesi sezon ise Tony Sylva'nın da transfer edilmesiyle birlikte Tolga Zengin'in ardından üçüncü kaleci konumuna düştü. Onur o sezon 2 kupa maçı haricinde, ligde hiçbir maçta forma giyemedi.
Onur, 2009-10 sezonunda ligin ilk 13 haftasında teknik direktör Hugo Broos'un görevde bulunduğu sürede hiç forma şansı bulamadı. Kaleci Sylva'nın yönetim tarafından kadrodışı bırakılması ve ikinci kaleci Tolga Zengin'in de bir sakatlık yaşamasıyla ligin 14. haftasında sportif direktör Ünal Karaman yönetiminde 2-1 kazanılan Eskişehirspor maçında uzun bir aradan sonra ilk kez takımın kalesini korudu. Teknik direktörlüğe Şenol Güneş'in gelmesiyle birlikte de ilk onbirde yer almaya başladı. Sezon sonuna kadar 33. haftadaki Denizlispor maçı haricinde 19 karşılaşmada forma giydi. Onur bu maçlarda kalesinde 12 gol görürken, 7 maçta da kalesini gole kapattı. 5 Mayıs 2010 tarihinde Fenerbahçe ile oynanılan ve 3-1'lik sonuçla kazanılan Türkiye Kupası finalinde bordo mavili ekibin kalesini koruyarak kariyerinde ilk kez bir kupa sevinci yaşadı. Genç kaleci daha sonra üçüncü kez düzenlenen TrabzonCell Ayın Futbolcusu yarışmasında TrabzonCell aboneleri tarafından nisan ayının en iyi futbolcusu seçildi. Sezon sonunda ise Bordomavi.net tarafından gerçekleştirilen Trabzonspor Taraftar Ödülleri'nde Yılın En İyi Yerli Futbolcusu ödülüne lâyık görüldü.
Onur, 7 Ağustos 2010'da Bursaspor'la oynanılan ve 3-0 kazanılan Süper Kupa finalindeki başarılı performansıyla yeni sezona iyi bir başlangıç yaptı. Kariyerinin ikinci kupa sevincini yaşayan genç kaleci, iki hafta sonraki UEFA Avrupa Ligi playoff maçında Joe Cole'un penaltısını da kurtarmasına rağmen, takımının Liverpool'a 1-0 mağlup olmasını engelleyemedi.[17] Onur, Süper Lig kariyerinin 24. maçı olan 2010-11 sezonun ikinci haftasındaki Fenerbahçe maçında ilk kez kalesinde iki gol birden gördü.[18] Ligin ilk beş haftasında 6 gol yerken, sezon arasına kadar kalesinde 4 gol daha görerek, ligin ilk yarısında toplamda 10 gol yedi. Onur, ligin ilk yarısındaki 17 maçın tamamında 90 dakika forma giydi.[19]
Ligin ikinci yarısına takımıyla orantılı kötü bir başlangıç yapan genç kaleci, daha sonra toparlanarak yaptığı kurtarışlarla şubat ayının en iyi futbolcusu seçildi. Onur böylece ikinci kez TrabzonCell Ayın Futbolcusu ödülüne lâyık görüldü. Ödülünü 12 Mart 2011'de Kasımpaşa ile oynanılan maçın öncesinde alan Onur, aynı karşılaşmanın son saniyelerindeki bir hava topu mücadelesinde sağ ayağından sakatlandı. İki gün sonra çekilen MR'ının ardından ön çapraz bağlarında yırtık tespit edildiği ve sezonu kapattığı açıklandı. 23 Mart'ta gerekli tedavi ve rehabilitasyon süreci için ABD'nin Pittsburgh şehrine gönderilerek, üç gün sonra Pittsburgh Üniversitesi Hastanesi'nde Prof. Dr. Freddie Fu tarafından ameliyat edildi. 45 gün boyunca üniversiteye bağlı olan UPMC Sports Medicine Center'da rehabilitasyon sürecini geçiren Onur, 10 Mayıs 2011'de Trabzon'a dönerek çalışmalarına başladı. Genç file bekçisi sezon boyunca çıktığı 25 karşılaşmada kalesinde 20 gol gördü.
Onur, yeni sezon öncesinde boşta duran 1 numaralı formanın yeni sahibi oldu. Sakatlığının tam anlamıyla geçmemesi nedeniyle takımının lig ve Avrupa kupalarındaki karşılaşmalarında forma giyemedi. 29 Ekim 2011'de Gaziantepspor'la oynanılan 9. hafta maçında ilk kez 18 kişilik kadroya dahil edildi. Onur Kıvrak, 12 Mart 2011'de yaşadığı sakatlığın ardından 10 ay sonra 11 Ocak 2012'de Türkiye Kupası'nda İstanbul Güngörenspor ile oynanılan karşılaşmada ilk kez forma giydi. 23 Şubat'ta PSV Eindhoven ile oynanılan Avrupa Ligi maçında Tolga'nın kırmızı kart görmesi nedeniyle Paulo Henrique'nin yerine oyuna dahil olarak maç boyunca kalesinde bir gol gördü.
Onur, Trabzonspor'la 2013 yılında bitecek olan sözleşmesini 9 Mart 2012 tarihinde 2015–16 sezonu sonuna kadar uzattı. Genç kalecinin ilk dört sezon için 2.5 milyon TL, son sezonu için 3.5 milyon TL ve her yıl için de 34 bin 500 TL maçbaşı ücreti alacağı açıklandı.
Onur, 2010-11 sezonunda Kasımpaşaspor karşılaşmasında sakatlanmasından sonra 2011-12 sezonun da Spor Toto Süper Lig'de forma giyemedi. Teknik direktör Şenol Güneş tarafından hazırlık karşılaşmaları ve Ziraat Türkiye Kupası karşılaşmalarında forma şansı almaya başlayan Onur Kıvrak, 2012-13 sezonunda tekrar formasına kavuştu. Sezona iyi bir başlangıç yapan Onur Kıvrak formasını bir daha kaybetmedi. Ziraat Türkiye Kupası'nda Eskişehirspor'a karşı gösterdiği performansla ne kadar kaliteli bir kaleci olduğuna gösterip tekrar Türkiye Millî Futbol Takımı'na seçildi.
