2002 yılında futbola Trabzon Telekomspor'da başlayan Zeki, 2007 yılına kadar bu takımda forma giydi. 2007 yılında ise babasının da çalıştığı Trabzonspor'a transfer oldu.

2010 yılına kadar Trabzonspor altyapısında forma giyen Zeki Yavru, 2010-2011 sezonunda 1461 Trabzon'a yollandı. Bu takımda 61 numaralı formayı giyen Zeki, bu takımda 19 maçta forma giydi ve 1 gol kaydetti.

2011-12 sezonu öncesinde de 1461 Trabzon'a yollanan Zeki, bu takımda 27 maça çıktı ve 7 gol kaydetme başarısı gösterdi.

Trabzonspor'un Beşiktaş mağlubiyetinden sonra Şenol Güneş tarafından kadroya katıldı. 1 Temmuz 2012'de ise Trabzonspor'la ilk antrenmanına çıktı.

Zeki 15 Ekim 2012'de ise Trabzonspor'un hazırlık maçı yaptığı Kazakistan takımına yaklaşık 30 metreden gol attı ve takımdaki yerini sağlamlaştırdı.
Zeki Süper Lig'de Trabzonspor formasını ise ilk kez 16 Eylül 2012 günü Sivasspor karşısında terletti.

Zeki 31 Ocak tarihinde Eskişehirspor karşısında kupa maçında forma giydi. Maçın sonlarına doğru Özgür Çek ile kafa kafaya çarpışarak yerde kalan Zeki Yavru, yerden kalkamadı. Kafası açılan Özgür'e bandaj yapılırken, Zeki ambulansla hastaneye kaldırıldı. Trabzonspor, kafatasında çatlak oluşan Zeki'nin durumunun iyi ve bilincinin açık olduğunu bildirdi.

Zeki bu maçın ardından bir süre forma giyemedi. Zeki ayrıca 18 Mayıs 2013'te Galatasaray karşısında forma giydi ve bu maç oynadığı ilk derbi oldu.

Zeki Yavru ilk defa 2013 yılında Milli takıma çağırıldı ve Türkiye A2 Milli Futbol Takımı formasını 2 kez terletti.