Santrafor mevkinde forma giyen Mehmet Akyüz, Sakaryaspor altyapısından yetişti. 2004-05'te Sakaryaspor A2 takımında forma giydi. Devre arasında Sakaryaspor ile profesyonel sözleşmeye imza atsa da forma şansı bulamadı. 2005-06 sezonunda 1. Lig'de mücadele eden takımın A takımında yer alsa da sezonun son maçı olan Bursaspor karşısında son 9 dakika oyuna girerek ilk profesyonel maçına çıktı.

2006-07 sezonunda oyun tecrübesi kazanması için Fethiyespor'a kiralandı. 2. Lig'de mücadele eden takımın ilk yarısında forma giydi ve ilk kez Türkiye Kupası'nda forma şansı buldu. Ancak sezonun ikinci yarısında forma giymedi.

2007'de 2. Lig takımlarından Bozüyükspor'a transfer oldu. 16 maçta 3 gol atan futbolcu ara transfer döneminde Gençlerbirliği'ne geçti. 4 Türkiye Kupası maçıyla başladığı Gençlerbirliği kariyerinde 10 Şubat 2008 tarihinde oynanan Gençlerbirliği-Ankaragücü Süper Lig müsabakasında oyuna sonradan girerek ilk Süper Lig maçına çıkmış oldu.

Gençlerbirliği'ndeki ikinci sezonunda teknik direktör tarafından yeterli bulunmadı ve sezonun ilk devresinde eski takımı Sakaryaspor'a kiralandı. Burada 10 maça çıkan Akyüz, golle buluşamadı ve devre arasında 2. Lig ekiplerinden Şanlıurfaspor'a kiralandı. 12 maçta 7 golle takımının play-off'a kalmasına yardım etti ancak Konya Şekerspor'a uzatmalarda yenilip elendiler.

2009-10 sezonunda da Gençlerbirliği'nde düşünülmeyen futbolcu, Gençlerbirliği'nin ara takımı olan Hacettepe'ye bir sezonluğuna kiralandı. 20 maçta 3 gol kaydetti.

2010-2011 sezonun'da 1. Lig'in yeni ekiplerinden ve Tavşanlı Linyitspor'a transfer oldu. Buradaki ilk sezonun ilk devresinde 16 lig müsabakasında 7 gol ve 4 asist ile oynayarak büyük takımların transfer listesine girmeyi başarmıştır. Sezon sonunda 30 maçta 14 gol kaydetti. Takımının play-off mücadelelerine kalmasında büyük katkıda bulundu.

Mehmet Akyüz, 2011-12 sezonu yaz transfer döneminde Beşiktaş ile anlaşmıştır. Beşiktaş'ın Avusturya kampında hırsı ve tekniğiyle dikkat çekmiştir.

1 kez Türkiye U19 Milli Takımı'na davet edilen Mehmet Akyüz, 1 kez Türkiye U19 Milli Takımı formasını giyebilmiştir.