Sağ bek mevkinde forma giyen Veysel Sarı, futbola Beyoğlu Yeniçarşıspor'un altyapısında başladı ve ardından 2007 senesinde İstanbul amatör lig ekiplerinden Dikilitaş Spor Kulübü'ne transfer oldu. Bir sezon sonra Galatasaray ara takımı olan Beylerbeyispor'a transfer edildi. Burada genç yaşına rağmen takımda kendine çabuk yer edindi ve 34 2. Lig karşılaşmasında 2 gol kaydetti.

Dikilitaş Spor Kulübü'ndeki başarısı sayesinde birçok 1. Lig ve Süper Lig ekibinin transfer listesine girdi ve neticesinde 2009-10 sezonunda Süper Lig ekiplerinden Eskişehirspor transfer oldu.

Daha önce hiçbir milli takım kademesinde oynamayan Veysel Sarı, 1 ve 6 Haziran 2011 tarihlerinde Lübnan ve Danimarka ile oynanan özel karşılaşmalarda ilk kez Türkiye A2 Milli Takımı aday kadrosuna davet edildi.

1 Haziran 2011 tarihinde Lübnan'la oynanan karşılaşmada ilk kez Türkiye A2 Milli Takımı formasını giydi ve bu ilk karşılaşmasında milli takımlarda ilk golünü atma başarısı gösterdi.

6 Haziran 2011 tarihinde Danimarka ile oynanan maçta ikinci kez milli formayı giydi ve bu maçta kendi kalesine bir gol atarak Danimarka'yı 4-0 önegeçirdi.

Veysel Sarı, Türkiye A2 Millî Takımı formasını şu ana kadar 4 kez giydi ve 2 gol atma başarısı gösterdi. Veysel 2013 yılında ise ilk kez Abdullah Avcı tarafından A Milli takıma çağırıldı. İlk maçına 28 Mayıs 2013'te Letonya karşısında çıkan Veysel, bu maçta bir de gol kaydetti.