Elvir Bolic Yugoslavya'nın Kızılyıldız takımında parladı. 1991-92 sezonunda Şampiyonlar Ligi maçlarında forma giydi.

Türkiye'de ilk olarak 1992'de Galatasaray'a geldi, fakat fazla forma şansı bulamayarak altı ay sonra Gaziantepspor'a gitti. Gaziantep'te attığı gollerle dikkat çeken Boliç 1994-95 sezonunda 26 golle gol krallığında Aykut Kocaman'ın ardından ikinci sırayı aldı.

Boliç, 1995-96 sezonu başında Fenerbahçe'ye geçti ve o yıl kazanılan şampiyonlukta büyük pay sahibi oldu. Ayrıca 40 yıl boyunca kendi sahasında Avrupa maçlarında yenilmeyen Manchester United'a gol atarak Fenerbahçe'nin kazanmasını sağlamış ve tarihe geçmiştir. 2000 yılında takımdan ayrılan Boşnak oyuncu İstanbulspor'a transfer oldu ve ardından İspanya'nın Rayo Vallecano takımında forma giydi. Ülkesi Bosna-Hersek Millî Futbol Takımı formasını da başarıyla giyen Boliç, 2005-2006 sezonunda tekrar İstanbulspor takımına dönmüştür. Bu takımda da çeşitli sakatlıklarından ötürü fazla forma şansı bulamadı.

Elvir Bolic Gençlerbirliği SK ve Malatyaspor'da oynadıktan sonra 2005-2006 sezonunda Hırvatistan'ın NK Rijeka takımına transfer oldu ama kısa bir süre sonra, 35 yaşındayken emekli olduğunu açıklayarak 2006 yılının Eylül ayında kulüpten ayrılmıştır.

2008 yılında Bosna-Hersek millî takımının yardımcı antrenörü olmuştur.

Elvir Bolic günümüzde futbol sektöründen uzaktadır ve ülkesi Bosna Hersek'te İnşaat ve restoran işleri yapmaktadır.