Beykan, ailesinin desteğiyle ve babasının da eski futbolcu olmasıyla futbola; 12 yaşında, Isparta Gençlikspor'da başladı. Bu sırada, eski basketbolcu olan annesinin isteğiyle basketbola da başlayan ve bir sene boyunca basketbol oynayan Beykan, tercihini futboldan yana yaptı.

Futbola, 14 yaşında Fenerbahçe'de devam etti. Fenerbahçe'nin çeşitli yaş kategorilerinde forma giyen Beykan, etkili performansıyla A takıma kadar yükselmeyi başardı.

Beykan, 2013 yılında teknik direktör Aykut Kocaman tarafından Fenerbahçe A takımın Antalya'daki kampına çağrıldı. Kamp süresi boyunca etkili bir performans sergiledi ve takımıyla 2016 yılına kadar sözleşme imzayıp, profesyonelliğe adımını attı.

Beykan, 20 Ocak 2013 tarihinde oynanan ve 2-2 biten Elazığspor maçında ilk kez takımın 18 kişilik maç kadrosunda yer alsa da o maçta forma giyemedi.

23 Ocak 2012 tarihinde ise; Türkiye Kupası mücadelesinde 3-0 kazanılan maçta, Bursaspor karşısında maçın 72. dakikasında Miroslav Stoch'un yerine oyuna girdi ve o maçta gol atarak hem kariyerindeki, hem de Fenerbahçe forması altındaki ilk maçında ilk golünü atmış oldu.

11 Temmuz 2013 tarihinde kiralık olarak Kardemir Karabükspor'a transfer oldu.