Almanya'da büyüyüp sonra 16 yaşında Trabzonspor altyapısında oynamaya başlayan Aykut Akgün burada 2006 senesinde profesyonel olarak A takıma yükseldi. A takımda lig öncesi hazırlık döneminde denendi ve bir sezonluuğuna Maltepespor'a kiralandı.
Maltepe'de devre arası takım ile sözleşmesini feshedip Zeytinburnuspor'a transfer oldu. Burada sezon sonuna kadar oynadıktan sonra Almanya'ya, Karlsruher SC'nin ikinci takımı olan Karlsruher SC II'ye transfer oldu.

Karlsruher SC II'de kadroya girmeye zorlandı ve bunun üzerine burada sezon kaldıktan sonra tekrar Türkiye'ye geri dönmeye karar verdi. 2008-09 sezonun başında 1. Lig ekibi Giresunspor'a transfer oldu. Burada bir sezon oynadıktan sonra sözleşmesi feshedildi. Bunun üzerine Karşıyaka'ya transfer oldu.

Karşıyaka'da ilk sezonunda ilk onbir'in düzenli oyuncusu olmakla zorlandı. İkinci sezonunda ise ilk on birin düzenli oyuncusu olmayı başardı ve sergilediği futbolla hem ilk kez Türkiye A-2 Milli Takımı'na davet edildi hem de sezon sonu sona erecek sözleşmesinden verdiği avantajla birçok Süper Lig takımının transfer listesine alindi.

24 Haziran 2011 tarihinde daha önce altyapısında yetiştiği Trabzonspor'la 5 yıllık sözleşme imzalayarak buraya transfer oldu. İlk golünü 8 Mayıs 2013 tarihinde Ziraat Türkiye Kupasın'da Sivassporu' u 6-0 yendikleri maçta atmıştır.

1 kez Türkiye U-21 Milli Futbol Takımına çağrılan Aykut Akgün, 1 kez Türkiye U-21 Milli Futbol Takımına formasını giymiştır.

Uzun süre milli takımlara davet edilmeyen Aykut Akgün, 8 ve 9 Şubat 2011 tarihlerinde Belarus ile Antalya'da oynanacak özel karşılaşmalarda ilk kez Türkiye A-2 Milli Takımı aday kadrosuna davet edildi.

Bu karşılaşmaların 9 Şubat 2011 tarihinde Belarus'la oynananında ilk kez Türkiye A-2 Milli Takımı formasını giydi. Bu karşılaşmadan sonra düzenli olarak Türkiye A-2 Milli Takımı için oynamaya başladı.