Kara Harp Akademisinden 1990'da mezun olmasının ardından 1990-1992 yılları arasında 2'nci Piyade Tümen Komutanlığında Şube Müdürlüğü, 1992-1996 yılları arasında 2'nci Ordu Karargahında Lojistik Başkanlığı Plan Subaylığı, 1996-1999 yılları arasında Kara harp Okulu Öğrenci Tabur Komutanlığı ile Harekat ve Eğitim Şube Müdürlüğü, 1999-2001 yılları arasında Kıbrıs Türk Barış Kuvvetleri Komutanlığında Harekat ve Eğitim Şube Müdürlüğü görevlerinde bulunan Avsever, 2001-2003 yılları arasında 5'inci Hudut Alay Komutanlığı görevini yürüttü.
2003 Yüksek Askeri Şura (YAŞ) kararlarıyla tuğgeneralliğe yükselen Avsever, 2003-2005 yılları arasında Kara Kuvvetleri İkmal ve Bakım Daire Başkanlığı, 2005-2007 yılları arasında Genelkurmay Muhabere ve Bilgi Sistemleri Destek Komutanlığı görevlerinde bulundu.
2007 yılı YAŞ kararlarıyla tümgeneralliğe terfi eden Avsever, 2007-2009 yılları arasında Kara Kuvvetleri Komutanlığı Muhabere Elektronik ve Bilgi Sistemler Başkanlığı, 2009-2011 yılları arasında Muhabere Elektronik ve Bilgi Sistemler Okulu ve Eğitim Merkezi Komutanlığı, 2011-2012 yılları arasında Ege Ordusu Komutanlığı Kurmay Başkanlığı görevlerini icra etti.