Genellikle öğrencilerin sınav zamanı araştırdığı örten fonksiyon nedir sorusunu cevaplandırdık. Bununla beraber örten fonksiyon örnekleri ile beraber örten ve içine fonksiyon farkı nedir onu da bulduk. İçeriğimizin kalan kısmında birebir ve örten fonksiyon nedir sorusunun cevabına ayrıntılarıyla değineceğiz.
Bir fonksiyonun tanım kümesindeki elemanların değer kümesindeki elemanlarla eşlenmesi sonucunda değer kümesinde hiçbir eleman açıkta kalmıyorsa bu fonksiyona örten fonksiyon ya da sürjektif fonksiyon denir. Bir diğer ifadeyle, bir örten fonksiyonda değer kümesindeki her eleman tanım kümesindeki en az bir elemanın görüntüsüdür. Birebir fonksiyon ise her bir elemanın diğer kümenin bir elmanıyla eşleştiği fonksiyondur.
Bir fonksiyon örten değilse, yani değer kümesinde açıkta eleman kalıyorsa bu fonksiyona içine fonksiyon denir. Buna göre, bir fonksiyon ya örtendir ya da içinedir.
f: A → B fonksiyonunda, b ∈ A için
f (a) = b olacak şekilde en az bir a ∈ A varsa, f örten bir fonksiyondur.
Aksi takdirde f fonksiyonu içinedir.
İçine bir fonksiyon değer kümesi görüntü kümesine eşit olacak şekilde daraltılarak örten bir fonksiyona dönüştürülebilir. Benzer şekilde, örten bir fonksiyon değer kümesi genişletilerek içine bir fonksiyona dönüştürülebilir.
Bir fonksiyonun örten olabilmesi için gerekli koşullardan biri, tanım kümesinin eleman sayısının değer kümesinin eleman sayısına eşit ya da ondan büyük olmasıdır. Aksi takdirde tanım kümesinde değer kümesindeki tüm elemanları "örtecek" kadar eleman bulunmaz.
Soru 1
f : X → Y olsun ,
X = {-1, 0, 1}
Y = {1, 2 } kümeleri olsun.
f(a) = (a)(a) + 1 olduğuna göre f ifadesindeki fonksiyonunun örten fonksiyonu olduğu gösterin.
Çözüm :
f(a) = (a)(a) + 1 ise
a = -1 için f(-1) = (-1)(-1) + 1 = 2
a = 0 için f(0) = 0
0 + 1 = 1
a = 1 için f(1) = (1)(1) + 1 =2
Burada çıkan sonuçlar 2, 1, 2 olduğu için ve Y kümesinin elemanlarının hiç biri boşta kalmadığından örten bir fonksiyondur. 
Soru 2
f : X → Y olmak üzere ,
X = { -1, 0, 1, 2, 3} ve Y ={0, 1, 2, 5, 10} değerli kümeler verilsin.
f(a) =(a)(a) + 1 ifadesinde ki fonksiyon örten bir fonksiyon mudur ?
Cevap :
f(-1) = (-1)(-1) + 1 = 2
f(0) = (0)(0) + 1 = 1
f(1) = (1)(1) + 1 = 2
f(2) = (2)(2) + 1 = 5
f(3) = (3)(3) + 1 = 10
Görüldüğü üzere çıkan sonuçlar Y kümesinde ki elemanlarla eşleştiği için boşta da eleman kalmadığından dolayı bu fonksiyon örten bir fonksiyondur.
Soru 3
f : R → R olmak üzere
f(x) =(x)(x) + 2 ifadesindeki fonksiyon örten fonksiyon mudur ?
Cevap :
f(0) = (0)(0) + 2 = 2
f(1) = (1)(1) + 2 = 3
f(2) = (2)(2) + 2 = 6
f(3) = (3)(3) + 2 = 11
f(4) = (4)(4) + 2 = 18
f(5) = (5)(5) + 2 = 27
Hangi rakamı koyarsak koyalım yukarıda ki ifade de reel sayılardan reel sayılara tanımı yaptığımız için ve hiç bir eleman boşta kalmayacağından dolayı bu fonksiyon örten bir fonksiyondur.
