Cenk Gönen, 1999'da girdiği Göztepe'nin altyapısında yetişmiştir. A Milli Takım'ın ve Göztepe'nin eski kalecisi Ali Artuner'in yeğenidir. 2004 yılında 16 yaşındayken profesyonel oldu. 27 Ekim 2004'te Bucaspor'u 3-0 yendikleri kupa maçında ilk kez forma giydi. Birkaç hafta sonra ise Bank Asya 1. Lig'de forma giymeye başladı. 22 Aralık 2004'te Beşiktaş ile oynanan Türkiye Kupası maçında dikkat çekti.
2005 yılında Denizlispor'a transfer oldu. Sezona ise takımın altyapısında başladı. 2004-05 sezonunda sadece Fenerbahçe'ye 3-0 yenildikleri Türkiye Kupası maçında oynadı. Sonraki sezon da takımın 3. kalecisi olarak bulundu ve hiçbir maça çıkmadı.
2007-08 sezonunun ikinci yarısı tecrübe kazanması için yılında Altay'a kiralandı. Kira süresi bittikten sonra Denizlispor'a tekrar döndü ve 2 sezon takımın kalesini korudu.
2010-11 sezonu'nda Beşiktaş'a 1 milyon euro ve Emre Özkan karşılığında satıldı.
Liseyi İzmir İnönü Lisesi'nde okuyup, Denizlispor Koleji'nde bitiren Gönen, Ege Üniversitesi Beden Eğitimi ve Spor Yüksekokulu'nu ve açık öğretimden de işletme bölümünü okumaktadır.
26 ve 28 Kasım 2002 tarihlerinde Hollanda ile oynanan iki maç için U-15 Milli Takımı'na çağrıldı ve 1-1 berabere kaldıkları maçta forma giydi. İki yıllık bir aradan sonra Ege Kupası için U-16 kadrosuna çağrıldı. Volkan Babacan'ın yedeği olan Cenk, bir maç yedeklerden girerek forma giydi. Bu turnuvada şampiyonluk yaşadı. Ayrıca Castelo Branco ve şampiyon oldukları Viktor Bannikov turnuvalarında da takımın kalesini korudu.
2004 yılında U-17 seviyesine geçti. İlk U-17 maçında 6. dakikada sakatlanıp oyundan çıktı. Falkanberg Turnuvası'na katılan kadroda yer aldı. 6 Haziran 2006'da Rusya ile oynanan hazırlık maçıyla ilk kez U-18 oldu.
Cenk Gönen, 2009'da Türkiye Ümit Milli Futbol Takımı'nda kalecilik yapmaya başladı. İlk maçına 10 Şubat 2009'da Ukrayna karşısında çıktı. 2011 Avrupa Şampiyonası eleme maçlarına çağrılan Gönen, 2 tanesinde de forma giydi. 19 Kasım 2008'de Avusturya ile oynanan A milli maçı kadrosuna da çağrılan Gönen, Volkan Demirel'in yedeği olmuş ancak forma giymemiştir. Ardından 8 Ekim 2010 Almanya ve Azerbaycan arasında oynanacak maçların kadrosuna katılmıştır.
24 Mayıs 2012 tarihinde oynanan Gürcistan maçında ilk 11'de yer alarak ilk kez A milli takım formasını giydi. İki gün sonra oynanan Finlandiya maçında ikinci kez milli olurken bu maçta 120. kez A milli formayı giyerek milli takıma veda edecek olan Rüştü Reçber'in yerine 41. dakikada oyuna dahil oldu.
