Lise yıllarında futbola çok düşkün olan Aziz Yıldırım, Düzce Lisesi Futbol Takımı'nda forma giydi. Diyarbakırspor ve Düzcepor'da da oynayan Aziz Yıldırım 27 yaşında futbolu bıraktı.
Ankara Devlet Mühendislik Mimarlık Akademisi'ne giren Yıldırım, buradan inşaat mühendisi olarak mezun oldu.
1981-1982 ve 1982-1983 mevsimlerde Üsküdar Anadolu Kulübü Başkanı olarak görev yaptı.
NATO Altyapı ihalelerine de katılan Maktaş Mühendislik firmasının sahibi olan Aziz Yıldırım, 1990-1992 yılları boyunca Metin Aşık başkanlığındaki Fenerbahçe Yönetimi'nde görev aldı.
1991-1992 sezonunda ise Fenerbahçe Futbol Şubesi Sorumluluğu'nu üstlenen Yıldırım, yıldız futbolcu Tanju Çolak'ın Galatasaray takımından Fenerbahçe'ye transferini gerçekleştirdi.
1993-1995 yılları arasında Düzcespor Başkanı oldu.15 Şubat 1998 tarihinde yapılan Fenerbahçe Genel Kurultayı'nda başkanlık için aday olan Yıldırım, rakibi Vefa Küçük'ü 1 oyla geçerek seçimi kazandı. Yıldırım, Fenerbahçe Spor Kulübü'nün 52. Başkanı oldu.
20 Şubat 2000'deki başkanlık seçiminde 2 bin 657 oy, 3 Mart 2002'de yapılan seçimde ise 2 bin 175 oy alarak Fenerbahçe'deki görevini sürdürmeye devam eden Yıldırım, Türkiye çapında 45 şubesi bulunan
Fenerium Mağazalarını açtı. Fenerbahce Şükrü Saracoğlu Stadı'nın 52.000 kapasiteye ulaşmasında en çok katkıyı sağlayan kişi olan Yıldırım, Fenerbahçe'nin bir marka haline gelmesinde büyük katkılar sağladı.
Aziz Yıldırım döneminde Fenerbahçe kartı satışlarında yüz binleri geçen sarı lacivertliler gelirlerini arttırdı.
5 Mart 2006'da yapılan Fenerbahçe Kulübü Olağan Genel Kurulu'nda tek aday olan Aziz Yıldırım, 3 bin 676 oyla yeniden başkanlığa seçildi. Yıldırım'ın yeni yönetim kurulu ise 3 bin 665 oy aldı.
Aziz Yıldırım, 7 Mart 2004 tarihinde yapılan bir önceki seçimlerde aldığı 3 bin 555 oyu geçerek, 3 bin 676 oyla o güne kadarki en fazla oyunu almış oldu. Yıldırım, yeniden başkanlık görevine seçilmesiyle, 16,5 yıl ile şimdiye kadar en uzun süre başkanlık görevinde kalan Şükrü Saracoğlu'nun ardından, üst üste en uzun süre görev yapan 2. başkan olacak.
Değişen tüzük gereği, 2009 yılının Mayıs ayına kadar görevde kalan Aziz Yıldırım sonuçların açıklanmasının ardından şöyle konuştu:
"Bize verilen bu oylardan güç alarak Fenerbahçe için en iyisini yapmaya çalışacağız. Fenerbahçe'nin isteklerini biliyoruz. Ben ve arkadaşlarımız idrak ediyoruz. Yapacağımız çalışmalarla 3 yıl sonra inşallah Fenerbahçe'yi dünya devlerinden birisi yapacağız."
Yıldırım'ın başkanlığı sırasında Fenerbahçe takımı birçok teknik direktör ile çalıştı. Bunlar Otto Bariç, Joachim Löw, Rıdvan Dilmen, Zdenek Zeman, Turhan Sofuoğlu, Mustafa Denizli, Werner Lorant, Oğuz Çetin, Tamer Güney, Christoph Daum (2 kez), Zico, Aragones, Aykut Kocaman'dır.
Aziz Yıldırım Fenerbahçe'de başkanlık yaptığı dönemde, futbolda 5 Süper Lig şampiyonluğu, 2 Türkiye Süper Kupası, 1 Türkiye Kupası, 1 Başbakanlık Kupası sevinci yaşadı.
İki çocuk babası olan Yıldırım 7 Nisan 2010 tarihinde 30 yıllık eşi Yıldız Yıldırım'dan boşandı. Daha sonra Gonca Çelikkıran ile evlendi
Aziz Yıldırım, 3 Temmuz 2011'de "Silahlı suç örgütü kurmak ve yönetmek" iddiasıyla gözaltına alındı.Şike Davası'nda Aziz Yıldırım'a toplam 6 yıl 3 ay hapis ve 1.3 milyon lira para cezası verildi. 2 Temmuz 2012'de tahliye olan Yıldırım'ın da içinde bulunduğu Şike Davası, Yargıtay aşamasında.
