Abdürrahim Albayrak, 1954 yılında Rize'de doğmuştur. İlkokulu Rize'de okudu. Almanya'ya ilk gidenlerden olan babası onu yanında götürmedi. Babası birkaç yıl sonra Türkiye'ye döndü ve bir dükkan açtı, ancak işler iyi gitmeyince Almanya'ya tekrar geri dönmek zorunda kaldı. Giderken yanında oğlunu da götürdü.

Daha sonra askerliğini yapmak için tekrar Türkiye'ye döndü. Askerliği bitince Almanya'da biriktirdiği parayla bir minibüs aldı ve memleketi Rize'de minibüs şöförlüğü yapmaya başladı. Daha sonra akrabalarının baskısıyla İstanbul'a taşındı. İstanbul'da, Habibler Köyü'ne yerleşti ve Edirnekapı-Habibler hattında minibüs şöförlüğü yapmaya başladı. İşleri iyi gitti ve zaman içinde babasının gönderdiği parayla ikinci minibüsünü aldı. Daha sonra üçüncü, dördüncü derken birden o hattaki en fazla minibüse sahip kişi ünvanını kazandı. Daha sonra bu minibüs filosu Altur Turizm şirketinin temelini oluşturdu. 1977 yılında Altur'u kurdu.

1978 yılında bir gün bir iş adamı gelip "Fabrika servisi çeker misin?" dedi. "Yaparım" dedi. Böylelikle fabrika servisi işine başladı. Fanatik Galatasaray'lı olan Abdürrahim Albayrak, Galatasaray'ın hiçbir maçını kaçırmadı.

2011-2013 yılları arası Ünal Aysal'ın başkanlığındaki yönetim kurulunda görev yaptı. 2013 yılında Ali Dürüst, Refik Arkan ve Adnan Öztürk gibi isimlerle Aysal'ın yeni yönetim listesinde yer almayan Albayrak, 2014 yılında Duygun Yarsuvat başkanlığındaki yönetim kuruluna tekrar seçildi. Albayrak yeni yönetim ile birlikte "Başkan yardımcılığı" görevini üstlendi. 2 Haziran 2015'te görevinden istifa etti.