Duvardaki sıcaklık dağılımı ısı denkleminin uygun sınır koşulları ile çözümlenmesi sonucu belirlenebilir.Duvar içinde ısı üretiminin olmadığı sürekli rejim koşulları için ısı denklemi (2);aşağıdaki gibidir.
q'x = q x/A = -k*(dT/dx) (1)
d/dx*(k*dT/dx) = 0 (2)
Böylece denklem-1 den içinde ısı üretiminin olmadığı düzlemsel bir duvarda bir boyutlu,sürekli rejimde,ısı iletim akısının sabit olup x ten bağımsız olduğu görülür.Duvar malzemesinin ısı iletim katsayısı sabit alınırsa genel çözümü elde etmek için denklem iki kez entegre edilebilir;
T(x) = C1x+C2 (3)
C1 ve C2 entegrasyon sabitlerini bulmak için sınır koşulları gereklidir X=0 ve X=L de birinci tür sınır koşullarının geçerli olduğu varsayılsın;
T(0) = T1 T(L) = Ts,2 (4)
Genel çözüme X=0 da ki durum uygulanırsa;
Ts,1 = C2 (5)
(5) no lu denklemdeki gibi bulunur benzer şekilde X=L de ;
Ts,2 = C1*L+C2 = C1*L+Ts,2 (6)
(Ts,2 - Ts,1)/L = C1 (7)
(7) no lu denklem elde edilir.Sabitlerin genel çözümde yerine konmasıyla sıcaklık dağılımı bulunur;
T(x) = (Ts,2 - Ts,1)*(X/L)+ Ts,1 (8)
Bu sonuçtan ısı üretimsiz ve sabit ısı iletim katsayılı düzlemsel bir duvarda bir boyutlu sürekli rejim ısı iletiminde sıcaklığın x ile doğrusal olarak değiştiği açıkça görülmektedir.
Sıcaklık dağılımı bilindiğinden iletimle geçen ısı Fourier yasası kullanılarak bulunur.
Fourier yasası ; qx = -k*A*(dT/dx) (9)
A'nın ısı geçiş yönüne dik duvar alanı olduğu ve düzlemsel duvar için x'e göre sabit kaldığı hatırlanmalıdır.Bu durumda ısı akısı aşağıdaki gibi yazılabilir.
q'x = q x/A = k/L*(Ts,1 - Ts,2) (10)
Yukarıda sınır koşulu olarak x=0 ve x=L deki yüzey sıcaklıkları seçildi.Oysa genellikle yüzey sıcaklıkları yerine akışkan sıcaklıkları bilinir.Bununla beraber yüzeyde bir enerji dengesi kurarak (7) ve (10) denklemlerini yüzey yerine akışkan sıcaklıkları cinsinden ifade etmek oldukça kolaydır.
TERMAL DİRENÇ
Yukarıdaki tanımlamalarımızda (10) numaralı denklemle çok önemli bir kavramın ortaya konduğu bilinmelidir.Bu kavram elektrik akımı ile ısının yayılması arasında bir benzeşim bulunmasıdır. bir elektrik direnciyle iletilen elektrik direnci arasındaki ilişki bir ısıl dirençle iletilen ısı arasındaki ilişkiye oldukça benzerdir.Direnç bir potansiyel farkının,akıma oranı olarak tanımlanırsa denklem-8 ısı iletim direncinin ;
Rt,iletim = (Ts,1 - Ts,2)/qx = L/(k*A) (11) olduğu ortaya çıkar.